§ 7. Системи випадкових величин.
1. Закон розподілу системи.
Законом розподілу системи в. в. наз. співвідношення, яке встановлює зв’язок між областями можливих значень системи і ймовірностями появи системи в цих областях.
яка наз. таблицею розподілу системи двох д. в. в. із скінченною кількістю можливих значень.
Всі можливі події EMBED Equation.3 , для EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 утворюють повну групу несумісних подій, тому EMBED Equation.3 .
При цьому закони розподілу кожної із складових системи легко знайти. Так, для складової EMBED Equation.3 (її можливі значення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) додавши ймовірності по рядках
EMBED Equation.3 ; (1)
Для складової EMBED Equation.3 аналогічно
2. Функція розподілу системи
Функцією розподілу системи двох випадкових величин наз. функція двох аргументів F(x,y), яка = ймовірності сумісного виконання двох нерівностей X<x і Y<y, тобто
F(x,y)=P(X<x, Y<y). (3)
Геометрично ф-ія розподілу системи двох в. в. представляє собою ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) у лівий нижній нескінченний квадрант площини з вершиною в точці ( EMBED Equation.3 )
З геометричної інтерпретації отримаємо властивості функції розподілу системи двох в. в.
10. EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . (4)
20. EMBED Equation.3 . (5)
30. EMBED Equation.3 . (6)
40. EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 .
Доведемо цю властивість, використовуючи геом. інтерпретацію функції розподілу системи.
Розглянемо такі три події:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Очевидно, що C=A+B але A і B – несумісні події. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо P(C)=P(A)+P(B),
але EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тому EMBED Equation.3 ,
звідки EMBED Equation.3 .
Оскільки ймовірність – величина невід’ємна, то EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
Аналогічно можна довести другу нерівність
EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
50. Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат, обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 . (7)
Виведемо цю формулу, користуючись геом. інтерпретацією системи. Нехай прямокутник має вершини (a,c), (a,d), (b,d), (b,c).Розглянемо такі події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Очевидно, що E=A+B+C+D, але A,B,C,D – несумісні події, тому
P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)
Оскільки P(E)=F(b,d), P(B)=F(b,c)-F(a,c), P(C)=F(a,d)-F(a,c), P(D)=F(a,c), то отримаємо
P(A)= F(b,d)- F(b,c)+ F(a,c)- F(a,d)+ F(a,c).
Скоротивши останні два доданки, отримаємо шукану формулу (7).
3. Щільність розподілу системи.
Розглянемо ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в елементарний прямокутник із сторонами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , паралельними координатним осям, який примикає до точки ( EMBED Equation.3 ).
Застосувавши формулу (7), одержимо
EMBED Equation.3 EMBED Equa...
